Hallöchen,
also meines Wissens nach ist dein Nachbar für den Baumschnitt und die Pflege zuständig, da es sein Baum auf seinem Grundstück ist. Schau mal hier z.B. https://www.nachbarrecht.com/thema/baeume-faellen.html - ich hoffe, die Infos sind noch relevant. Habs schnell gegoogelt. :)
Aber zurück zum Thema: Bei uns war es auch so. Nicht nur, dass die Äste des Baumes vom Nachbarn auf unser Grundstück ragten, der ganze Baum war einfach viel zu nahe an der Grundstücksgrenze. Dumm nur, dass er schon so groß war. Und fällen viel halt weg - Baumschutz. Naja, weder unser Nachbar noch wir hatten große Lust uns deswegen zu streiten. Also, eine von diesen Arbeitsbühnen http://www.hebebuehnen-deutschland.de/ bestellt und los! Zum Glück haben wir einen Freund, der sich mit Gärtnerei und Baumpflege gut auskennt. Die Kosten haben wir geteilt. Halt eine Kompromisslösung.